Die funktion f sei eine im intervall [a ; B] definierte funktion, die im inneren dieses intervalls differenzierbar ist. Wenn f an einer stelle xe [a ;
B] ein absolutes maximum hat, liegt an dieser stelle eine waagerechte tangente vor. Sei f eine differenzierbare funktion mit d = r. Hat f an der stelle xe einen wendepunkt mit einer wendetangente, die die steigung null hat, so liegt.
Bei einer “knickstelle” ist das immer der fall. Liegt eine solche knickstelle in einem intervall i, so wird die funktion Es gibt drei möglichkeiten, wie eine funktion nicht differenzierbar sein kann.
Fall 1 eine funktion, die nicht differenzierbar ist, wenn sie diskontinuierlich ist. Beispiel (1a) f#(x)=cotx# ist bei nicht differenzierbar #x=n pi# für alle ganzen zahlen #n#. Wenn du eine funktion zweimal ableiten kannst, nennst du sie zweimal differenzierbar.
Es gibt noch einen weiteren trick, wie du eine funktion auf differenzierbarkeit prüfen kannst. Ferner kann man auch bei einer partiell differenzierbaren funktion mit beschränkten partiellen ableitungen nicht auf. Also eine funktion ist ja an nem punkt differenzierbar wenn sie dort ne ableitung hat aber wieso sind z. b.
Funktionen mit nem knick nicht differenzierbar. In fällen wie „jede stetige funktion ist 'meistens' differenzierbar“ mag dies weniger offensichtlich sein. Darauf gehe ich weiter unten gesondert ein.
Darauf gehe ich weiter unten gesondert ein. Diese falsche aussage wurde korrekt auf ein anderes feld angewendet oder irgendwie in berechnungen usw. Eine funktion ist im allgemeinen also dann in total differenzierbar, wenn sie sich gut durch eine affin lineare funktion approximieren lässt.
(für jede folge wo h gegen 0 geht muss der grenzwert gleich sein) beispiel: Die funktion |x| betrachte die beiden folgen: Wenn das jeweils für h einsetzt und x=0 bekommst du einmal:
Eine an einem punkt differenzierbare funktion ist an diesem punkt kontinuierlich. Differenzierung ist eine lineare operation im folgenden sinn: Die kettenregel ist auch in diesem zusammenhang gültig:
Der knick in der betragsfunktion verhindert also die differenzierbarkeit. Wenn also eine funktion einen knick besitzt, ist sie an dieser stelle nicht ableitbar. Ableitbare funktionen sind knickfrei.
Man nennt sie deswegen auch glatte funktionen. Dies heißt aber nicht, dass knickfreie funktionen automatisch ableitbar sind. Die meisten funktionen sind differenzbar, deshalb ein beispiel für eine nicht differenzierbare funktion:
Die betragsfunktion f(x) = |x| ist z. b. An der stelle 0 nicht differenzierbar, da der grenzwert des differenzenquotienten an der stelle 0 nicht existiert: Hinweise ist eine funktion nicht stetig, so.
